已知橢圓的離心率為，長軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）試直線y=kx+1交橢圓于不同的兩點A、B，以AB為直徑的圓恰過原點O，求直線方程．
【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合以AB為直徑的圓恰過原點O，求得切線向量，即可求得直線方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，
∵橢圓的離心率為，長軸長為2
∴，
∴
∵a2=b2+c2
∴b=1 （2分）
∴所求橢圓方程為  （4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0
則△=（6k）2-4（1+3k2）×0＞0，
解得k≠0   （5分）
故，x1x2=0     （8分）
∵以AB為直徑的圓恰過原點O
∴
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=（10分）．  
∴  
∴直線方程為（12分）
點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是借助于韋達定理，將以AB為直徑的圓恰過原點O，轉(zhuǎn)化為．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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