Question

9．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=6（2a-2）=0，解得：a=1；
經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意；
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故f（x）在[-1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，5]遞增，
而f（-1）=-4，f（0）=0，f（2）=-4，f（5）=50，
∴f_min（x）=-4；f_max（x）=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．