Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+alnx（a∈R），當m≥1時，不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$可化為m²-alnm²≥（2m-1）-aln（2m-1），令h（x）=x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+alnx，（x＞0），
不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$恒成立，
則m²-2m+1-2alnm+aln（2m-1）≥0
即m²-alnm²≥（2m-1）-alm（2m-1）
令h（x）=x-alnx（x≥1），則問題可化為h（m²）≥h（2m-1）
∵m≥1，∴m²≥2m-1，
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可，
即h′（x）=1-$\frac{a}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤x在[1，+∞）上恒成立，故a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，同時考查學(xué)生分析解決問題的能力，有綜合性．