Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=$\frac{1}{3}$^x3的對(duì)稱中心，通過平移變換，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，直接寫出a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用a與0大小比較，分類討論通過等號(hào)的符號(hào)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）利用f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為a的不等式，然后求解最值，即可求a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)y=x³的對(duì)稱中心（0，0），平移變換后函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+1的對(duì)稱中心（0，1），
∴a的值是0．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2ax．…（4分）
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0．…（7分）
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2a，0）．
（Ⅲ）因?yàn)?nbsp;f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{3}$x³-ax²≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．
所以a≤$\frac{1}{3}x$在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（10分）
因?yàn)?nbsp;x≥3，
所以$\frac{1}{3}x≥1$．…（11分）
所以 a≤1．…（13分）
所以 若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，a的最大值為1．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查分類討論轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．