Question

已知正三棱錐P-ABC的高PO為h，點(diǎn)D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，PO與BD所成角的余弦值為

2

3

，則正三棱錐P-ABC的體積為（　�。�

• A、

  3 3

  8

  h3
• B、

  2 3

  8

  h3
• C、

  3

  8

  h3
• D、

  3 3

  4

  h3

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用異面直線所成的角，得到底面邊長與高h(yuǎn)的關(guān)系，易求a2=

3

2

h2，V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×a×

3

2

a×h=

3

12

a2h=

3

8

h3．

解答： 解：設(shè)底面邊長為a，連接CO交AB于F，過點(diǎn)D作DE∥PO交CF于E，連接BE，則∠BDE即PO與BD所成角，∴cos∠BDE=

2

3

，
∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，
∵點(diǎn)D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，∴DE=

1

2

h，∴BE=

14

4

h，
在正三角形ABC中，BF=

1

2

a，EF=

2

3

CF=

3

3

a，
在Rt△BEF中，BE²=EF²+BF²，
∴a2=

3

2

h2，∴V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×a×

3

2

a×h=

3

12

a2h=

3

8

h3
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線所成的角，三棱錐的體積，充分利用線面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，計(jì)算能力．