Question

已知函數(shù)：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過(guò)曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1

(1)y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，求f(x)的表達(dá)式；

(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

 

Answer 1

(1) f(x)＝x3＋2x2－4x＋5; (2) b≥0

【解析】

試題分析：(1)先由函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義用含a,b,c的代數(shù)式表達(dá)出函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程，再與已知的切線相比較可得關(guān)于a,b,c的兩個(gè)方程；另又因?yàn)閥＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝0再得到一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程，三個(gè)字母三個(gè)方程，通過(guò)解方程組就可求得字母a,b,c的值，從而求得f(x)的表達(dá)式； (2) 由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，知其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有，從而有3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，可求得b的取值范圍.

試題解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

過(guò)y＝f(x)上點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，

即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)

而過(guò)y＝f(x)上P(1，f(1))的切線方程為：y＝3x＋1

即

又∵y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③

由①②③相聯(lián)立解得a＝2，b＝－4，c＝5,所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5

(2)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增

又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0

∴f′(x)＝3x2－bx＋b

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立

注意到，所以3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等價(jià)于：，令知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在[-2，1）上有最大值為，故知，且當(dāng)x=1時(shí)f′(x)≥0也成立,所以

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.函數(shù)的極值與最值.