Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的、，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上的值城為區(qū)間，是否存在常數(shù)，使得區(qū)間的長(zhǎng)度為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：區(qū)間的長(zhǎng)度為）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在常數(shù)或滿足題意.

【解析】

（1）求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，得到函數(shù)的單調(diào)性，建立關(guān)于的不等式組，解出即可；

（2）依題意，函數(shù)在上的最大值小于等于函數(shù)在上的最小值，此時(shí)可以分離變量，也可以直接求解；

（3）通過(guò)討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及、的值，得到關(guān)于的方程，解出即可．

（1）由題意得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，

故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，

，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）依題意，函數(shù)在上的最大值小于等于函數(shù)在上的最小值，

當(dāng)時(shí)，，

易知，函數(shù)在上的最大值為.

法一：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，

則，符合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，

則，解得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

法二：依題意，對(duì)任意都成立，

，，則，

當(dāng)時(shí)，則有，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意都成立，

則函數(shù)為增函數(shù)，故，即.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）依題意，解得.

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，即，，即，

解得；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，

，，解得；

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，

，，解得，不符合，舍去；

綜上，存在常數(shù)或滿足題意.