Question

12．已知邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，若三棱錐O-ABC的體積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，則球的表面積為16π．

Answer 1

分析 取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，OD，過(guò)O作OE⊥平面ABC，交AD于E，則AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{2}{3}AD$=$\sqrt{3}$，由三棱錐O-ABC的體積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求出OE=1，從而得到球半徑OA=2，由此能求出球的表面積．

解答 解：∵邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，
∴AB=AC=BC=3，
取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，OD，過(guò)O作OE⊥平面ABC，交AD于E，
則AD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{2}{3}AD$=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×3×3×sin60°$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱錐O-ABC的體積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×OE=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得OE=1，
∴球半徑OA=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
∴球的表面積為S=4π×2²=16π．
故答案為：16π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．