已知函數(shù)y=x+數(shù)學(xué)公式(m為正數(shù)).
(1)若m=1,求當(dāng)x>1時函數(shù)的最小值;
(2)當(dāng)x<1時,函數(shù)有最大值-3,求實數(shù)m的值.

解:(1)m=1時,y=x+=x-1++1.因為x>1,所以x-1>0.
所以y=x-1++1≥2+1=3.(3分)
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時取等號.(4分)
所以當(dāng)x>1時函數(shù)的最小值為3.(5分)

(2)因為x<1,所以x-1<0.
所以y=x-1++1=-(1-x+)+1≤-2+1.(7分)
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=,即x=1-時取等號.(8分)
即函數(shù)的最大值為-2+1.所以-2+1=-3.(9分)
解得m=4.(10分)
分析:(1)若m=1,求當(dāng)x>1時函數(shù)的最小值,由函數(shù)的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;
(2)當(dāng)x<1時,函數(shù)有最大值-3,求實數(shù)m的值,在本題條件下,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等號成立的條件求參數(shù)m的值.
點評:本題考查用基本不等式求最值,利用基本不等式求最值要注意驗證等號成立的條件,免致出錯,本題中第二問利用等號成立的條件求參數(shù),是基本不等式的一個比較重要的拓廣應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•甘肅三模)已知函數(shù)y=
x3
3
+
mx2+(m+n)x+1
2
的兩個極值點分別為x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),記分別以m,n為橫、縱坐標(biāo)的點P(m,n)表示的平面區(qū)域為D,若函數(shù)y=loga(x+4)(a>1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點,則實數(shù)a的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•月湖區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=mx-
m-1
x
-lnx(m∈R),g(x)=
1
x
+lnx

(I)求g(x)的極小值;
(II)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求m的取值范圍;
(III)設(shè)h(x)=
2e
x
,若在[1,e]
(e是自然對數(shù)的底數(shù))上至少存在一個x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
3m
x
(x>0)
的值域是[6,+∞),求實數(shù)m的值;
(2)求函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
(a>0)在x∈[1,2]上的最小值g(a)的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=|x|+1,y=
x2-2x+2+t
,y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三個根,其中0<t<1
(1)求證:a2=2b+3;
(2)設(shè)(x1,M),(x2,N)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的兩個極值點,若|x1-x2|=
2
3
,求函數(shù)f(x)的解析式.

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