5.在如圖所示的三棱錐ABC-A1B1C1中,D,E分別是BC,A1B1的中點.
(1)求證:DE∥平面ACC1A1
(2)若△ABC為正三角形,且AB=AA1,M為AB上的一點,$AM=\frac{1}{4}AB$,求直線DE與直線A1M所成角的正切值.

分析 (1)取AB的中點F,連接DF,EF,推導(dǎo)出DF∥AC,從而DF∥平面ACC1A1;再推導(dǎo)出EF∥AA1,從而EF∥平面ACC1A1,進而平面DEF∥平面ACC1A1,由此能證明DE∥平面ACC1A1
(2)推導(dǎo)出平面ABC⊥平面ABB1A1,連接CF,推導(dǎo)出CF⊥平面ABB1A1,取BF的中點G,連接DG,EG,從而DG⊥平面ABB1A1,進而∠DEG即為直線DE與直線A1M所成角,由此能求出直線DE與直線A1M所成角的正切值.

解答 證明:(1)取AB的中點F,連接DF,EF…(1分)
在△ABC中,因為D,F(xiàn)分別為BC,AB的中點,
所以DF∥AC,DF?平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,
所以DF∥平面ACC1A1…(3分)
在矩形ABB1A1中,因為E,F(xiàn)分別為A1B1,AB的中點,
所以EF∥AA1,EF?平面 ACC1A1,AA1?平面ACC1A1,所以EF∥平面ACC1A1…(4分)
因為DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ACC1A1…(5分)
因為DE?平面DEF,所以DE∥平面ACC1A1…(6分)
解:(2)因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,所以平面ABC⊥平面ABB1A1
連接CF,因為△ABC為正三角形,F(xiàn)為AB中點,所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABB1A1,
取BF的中點G,連接DG,EG,可得DG∥CF,故DG⊥平面ABB1A1,
又因為$AM=\frac{1}{4}AB$,所以EG∥A1M,
所以∠DEG即為直線DE與直線A1M所成角…(9分)
設(shè)AB=4,在Rt△DEG中,$DG=\frac{1}{2}CF=\sqrt{3},EG=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$,
所以$tan∠DEG=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{51}}}{17}$,
故直線DE與直線A1M所成角的正切值為$\frac{\sqrt{51}}{17}$.…(12分)

點評 本題考查線面平行的證明,考查線面角的正切值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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