Question

6．如圖是f（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象，下列說法錯誤的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期是$\frac{12}{5}$
• B． 函數(shù)g（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin\frac{5π}{6}$x的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{5}$個單位得到
• C． 函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心是（-$\frac{4}{5}$，0）
• D． 函數(shù)f（x）的一個遞減區(qū)間是（5，$\frac{31}{5}$）

Answer 1

分析 根據(jù)圖象過（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；根據(jù)函數(shù)解析式之間的關(guān)系判斷各選項即可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)圖象可知，f（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0）的圖象過（0，1），（2，0）
可得：f（0）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（φ）=1，解得：φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
f（2）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（2ω+$\frac{π}{6}$）=0，解得ω=$\frac{π}{6}$+kπ或ω=$\frac{π}{3}$+kπ．
當k=-1時，|ω|為：$\frac{5π}{6}$，周期T=$\frac{2π}{|-\frac{5π}{6}|}$=$\frac{12}{5}$．故A對．此時可得f（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）．
函數(shù)g（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin\frac{5π}{6}$x的圖象向右平移$\frac{2}{5}$個單位可得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}sin[\frac{5π}{6}（x-\frac{2}{5}）]=\frac{2\sqrt{3}}{3}sin（\frac{5π}{6}x-\frac{π}{3}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）．故B對．
當x=-$\frac{4}{5}$時，函數(shù)f（$-\frac{4}{5}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$\frac{5π}{6}×\frac{4}{5}+\frac{π}{6}$）．=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，故C不對．
由f（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$\frac{5π}{6}x-\frac{π}{6}$）．
令0+2kπ≤$\frac{5π}{6}x-\frac{π}{6}$）≤π+2kπ，
可得：$\frac{1}{5}+\frac{12}{5}k≤x≤\frac{7}{5}+\frac{12}{5}k$，（k∈Z）
當k=2時，可得$5≤x≤\frac{31}{5}$是單調(diào)遞減．故D對．
故選C．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．