Question

【題目】設(shè)曲線 ，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)的倒數(shù)和為-1.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)焦點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為切點(diǎn)作曲線的切線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，求三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，由點(diǎn)，的橫坐標(biāo)的倒數(shù)和為-1，結(jié)合韋達(dá)定理代入求值即可；（2）設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立求得,求過(guò)M,N的切線方程求得Q(2k,0),利用點(diǎn)到線的距離求點(diǎn)到直線/的距離為，利用求解即可

（1）由題意可知：，故可設(shè)直線的方程為即

聯(lián)立方程可得∴

由題意知：，即，即，得.

∴曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意知直線的斜率是存在的，故設(shè)的方程為，

設(shè)與曲線相交于點(diǎn)，

聯(lián)立方程可得∴

∴.

由，得. ∴.

∴，∴……①

∴，∴……②

上述兩式相減得：，∴.∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

∴點(diǎn)到直線的距離為.

∴

又∵，∴.易知當(dāng)時(shí)，的面積最小，且為2，

即.