Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域為R，f（-x）=f（x），從而得到函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
（2）在（0，+∞）上任意選取x₁，x₂，且x₁＜x₂，推導(dǎo)出f（x₁）-f（x₂）＜0，由此能證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+1，
∴f（x）的定義域為R，
∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
證明：（2）在（0，+∞）上任意選取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用．