12．已知函數(shù)f（x）=x2+1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

分析 （1）求出f（x）的定義域為R，f（-x）=f（x），從而得到函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
（2）在（0，+∞）上任意選取x1，x2，且x1＜x2，推導出f（x1）-f（x2）＜0，由此能證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x2+1，
∴f（x）的定義域為R，
∵f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
證明：（2）在（0，+∞）上任意選取x1，x2，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=${{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x1-x2）（x1+x2），
∵x1＞0，x2＞0，x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1+x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調性的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用．

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