Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1．
（I）求證：當(dāng)a＞-1且x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）g（x）=e^x+2x²-x+k，若對任意x₁，x₂，x₃∈[-1，1]，長分別為g（x₁），g（x₂），g（x₃）的線段
能構(gòu)成三角形，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）解得f′（x）=e^x+a，判斷f′（x）=e^x+a＞0，求解出f（x）=e^x+ax-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，就容易判斷了．
（Ⅱ）g′（x）=e^x+4x-1，由（Ⅰ），g′（0）=0，g′（x）=e^x+4x-1＞0對x＞0恒成立，
易得出g′（x）＜0時，x＜0，判斷出函數(shù)在[-1，0]單調(diào)遞減，[0，1]單調(diào)遞增，g（x）_max=g（1）=e+1+k，
g（x）_min=g（0）=1+k＞0．列出e+1+k＜2k+2，即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
即e^x＞1，且a＞-1，則f′（x）=e^x+a＞0，
∴f（x）=e^x+ax-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵f（0）=0，
∴x＞0時，f（x）＞0恒成立．
（Ⅱ）任意x₁，x₂，x₃∈[-1，1]，均有g(shù)（x₁）+g（x₂）＞g（x₃），g（x₁），g（x₂），g（x₃）都為正值，
∴0＜g（x）_min，2g（x）_min＞g（x）_min，
∴g′（x）=e^x+4x-1，
由（Ⅰ），g′（0）=0，g′（x）=e^x+4x-1＞0對x＞0恒成立，
易得出g′（x）＜0時，x＜0，
故函數(shù)在[-1，0]單調(diào)遞減，[0，1]單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（1）=e+1+k，
g（x）_min=g（0）=1+k＞0．
∴e+1+k＜2k+2，
k＞e-1，
故實數(shù)k的取值范圍：k＞e-1，

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，運用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，最值，結(jié)合不等式求解即可，屬于難題．