Question

14．已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），曲線E上任意一點(diǎn)到M的距離均是到點(diǎn)N距離的$\sqrt{3}$倍．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知m≠0，設(shè)直線l₁：x-my-1=0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l₂：mx+y-m=0交曲線E于B，D兩點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由題目條件進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）四邊形的面積：S=$\frac{1}{2}AC•BD$，取AC的中點(diǎn)P，BD的中點(diǎn)Q，連結(jié)EP、EQ，求出AC²+BD²=8，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由題意，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，-----（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3為所求．--…（5分）
（2）由題意可知l₁⊥l₂，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N（1，0）…（7分）
則四邊形的面積：S=$\frac{1}{2}AC•BD$…（8分）
取AC的中點(diǎn)P，BD的中點(diǎn)Q，連結(jié)EP、EQ，
EP²=3-$\frac{1}{4}$AC²，EQ²=3-$\frac{1}{4}$BD²，
又可知四邊形NPEQ為矩形，所以有EP²+EQ²=EN²=4
整理得：AC²+BD²=8…（10分）
故S=$\frac{1}{2}AC•BD$≤$\frac{1}{2}•\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{2}$=2      
當(dāng)AC=BD，即m=1時(shí)，即面積最大值為2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求解軌跡方程的一般方法，考查面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．