Question

如圖，正整數(shù)數(shù)列，假設(shè)第n行的第一個(gè)數(shù)為
（1）由前三行數(shù)的排列規(guī)律依次寫出第五行的所有數(shù)字；
（2）求出a_n的通項(xiàng)公式并求第n行所有數(shù)的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由前三行數(shù)的排列規(guī)律可得第n行有2n個(gè)數(shù)，故前4行的數(shù)字總數(shù)為20，且這20個(gè)數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此可得第5行的各數(shù)．
（2）由于前n-1行中，所有數(shù)字的個(gè)數(shù)為 2+4+6+…+2（n-1）=n²-n，故a_n的通項(xiàng)公為 a_n =n²-n+1，由此利用等差數(shù)列的求和公式求得n行所有數(shù)的和S_n 的值．
解答：解：（1）由前三行數(shù)的排列規(guī)律可得第n行有2n個(gè)數(shù)，故前4行的數(shù)字總數(shù)為2+4+6+8=20，
且這20個(gè)數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
故第5行的開頭第一個(gè)數(shù)為21，共有10個(gè)，故第五行的所有數(shù)字為
21、22、23、24、25、26、27、28、29、30．
（2）由于前n-1行中，所有數(shù)字的個(gè)數(shù)為 2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1）=n²-n，
故 a_n的通項(xiàng)公為 a_n =n²-n+1．
故第n行所有數(shù)的和S_n =2n（ n²-n+1）+=2n³+n．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，由特殊的個(gè)例總結(jié)得出一般性的結(jié)論，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．