Question

20．設f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實數(shù)，若f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+{ax}^{2}}$，
∴f'（x）=$\frac{{e}^{x}（{ax}^{2}-2ax+1）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
∵f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
又∵a為正實數(shù)，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范圍為0＜a≤1，
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．