Question

2．定義a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$．若f（x）=cosx⊕（$\frac{\sqrt{2}}{2}$tanx）（-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）-$\frac{1}{sinα}$=0有解，求實(shí)數(shù)α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義進(jìn)行比較，求出函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的相交問(wèn)題．

解答 解：（1）若cosx≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$tanx，
即cos²x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx，
即1-sin²x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx，
即sin²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-1≤0，
即2sin²x+$\sqrt{2}$sinx-2≤0，
解得-$\sqrt{2}$≤sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即-1＜sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)-$\frac{π}{2}$＜x≤$\frac{π}{4}$．
當(dāng)$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，cosx＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$tanx，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，}&{-\frac{π}{2}＜x≤\frac{π}{4}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}tanx，}&{\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$．作出f（x）的圖象，則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{π}{2}$，0]，（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）若方程f（x）-$\frac{1}{sinα}$=0有解，
則等價(jià)為若方程f（x）=$\frac{1}{sinα}$有解，
即函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{sinα}$有交點(diǎn)，
∵f（x）＞0，
∴$\frac{1}{sinα}$＞0，即sinα＞0，
則2kπ＜α＜2kπ+π，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．