Question

14．設(shè)拋物線的頂點在原點，焦點是圓x²+y²=6x的圓心；
（1）求此拋物線的標準方程；
（2）過拋物線焦點且斜率為2的直線與拋物線和圓分別交于A，B，C，D四點，求△OAB與△OCD的面積之和．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心坐標，可得拋物線的焦點坐標，即可求此拋物線的標準方程；
（2）過拋物線焦點且斜率為2的直線方程為y=2x-6，分別于拋物線、圓聯(lián)立，求得交點的縱坐標，即可求△OAB與△OCD的面積之和．

解答 解：（1）圓x²+y²=6x的圓心為（3，0），
∴拋物線的焦點是（3，0），
∴拋物線的標準方程為y²=12x；
（2）過拋物線焦點且斜率為2的直線方程為y=2x-6，
與y²=12x聯(lián)立，可得y²-6y-36=0，∴y=3±3$\sqrt{5}$，
與x²+y²=6x聯(lián)立，可得y²-6y-36=0，∴y=±$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴△OAB與△OCD的面積之和為$\frac{1}{2}×3×6\sqrt{5}+\frac{1}{2}×3×\frac{12}{5}\sqrt{5}$=$\frac{63}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．