Question

已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）用定義證明函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，可令1-x＞0且1+x＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；
（3）此函數(shù)是一個減函數(shù)，由定義法證明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再兩函數(shù)值作差，判斷差的符號，再由定義得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意令1-x＞0且1+x＞0，
解得-1＜x＜1，所以函數(shù)的定義域是（-1，1）
（2）此函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下：
由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）=ln

1-x

1+x

，
則f（-x）=ln

1+x

1-x

=-ln

1-x

1+x

=-f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=ln

1-x1

1+x1

-ln

1-x2

1+x2

=ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
所以ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)在定義域是減函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的定義域，對數(shù)的運(yùn)算法則，判斷函數(shù)的奇偶性，定義法證明函數(shù)單調(diào)性，正確解答本題，關(guān)鍵是熟練記憶函數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)判斷的方法，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性是本題的難點(diǎn)，定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是；取，作差，判號，得出結(jié)論，其中判號這一步易疏漏，切記