Question

12．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（a+b+c）（a-b+c）=-ac，AB=$\sqrt{2}$，A的角平分線AD=$\sqrt{3}$．
（1）求角B；
（2）邊AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)已知等式可得a²+c²-b²=-ac，利用余弦定理可求cosB，結(jié)合B的范圍，即可得解B的值．
（2）由已知及正弦定理可求sin∠BDA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而求得∠BDA，∠BAD，進(jìn)而可求∠BAC，∠BCA，解得AB=BC=$\sqrt{2}$，利用余弦定理可求AC的值．

解答 解：（1）因?yàn)椋�（a+b+c）（a-b+c）=-ac．所以a²+c²-b²=-ac．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），
因此B=120°．
（2）在△ABD中，由正弦定理可知$\frac{AD}{sin120°}$=$\frac{AB}{sin∠BDA}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{sin∠BDA}$，
所以sin∠BDA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即∠BDA=45°，所以∠BAD=15°，
又因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以∠BAC=30°，∠BCA=30°，即AB=BC=$\sqrt{2}$，
由余弦定理可知：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=2+2-2×$\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）$=6，
所以AC=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形角平分線的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．