Question

4．為了研究某校的高三市三模的文科數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)隨機抽取了60名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行分析，現(xiàn)將成績按如下方式分為6組，第一組[80，90），第二組[90，100），…，第六組[130，140），得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）估計該校高三年級文科數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（3）從成績在[110，130）的同學(xué)中用分層抽樣的方法抽取5位同學(xué)，并從這5位同學(xué)中任選2人跟數(shù)學(xué)老師參與信息反饋，求選中2位數(shù)學(xué)成績不在同一組的同學(xué)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a．
（2）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得[110，120）小矩形最高，能估計該校高三年級文科數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計該校高三年級文科數(shù)學(xué)平均成績．
（3）由題意得[110，120）中有18人，[120，130）中有12人，從成績在[110，130）的同學(xué)中用分層抽樣的方法抽取5位同學(xué)，其中成績在[110，120）內(nèi)的有3人，[120，130）內(nèi)的有2人，由此能求出選中2位數(shù)學(xué)成績不在同一組的同學(xué)的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：
（0.015+0.010+a+0.03+a+0.005）×10=1，
解得a=0.02．
（2）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得[110，120）小矩形最高，
估計該校高三年級文科數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為115，
估計該校高三年級文科數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和平均成績?yōu)椋?br />85×0.015×10+95×0.010×10+105×0.020×10+115×0.03×10+125×0.020×10+135×0.005×10=109.5．
（3）由題意得[110，120）中有0.03×10×60=18人，[120，130）中有0.020×10×60=12人，
從成績在[110，130）的同學(xué)中用分層抽樣的方法抽取5位同學(xué)，
其中成績在[110，120）內(nèi)的有$5×\frac{18}{18+12}$=3人，[120，130）內(nèi)的有5×$\frac{12}{18+12}$=2人，
從這5位同學(xué)中任選2人跟數(shù)學(xué)老師參與信息反饋，
基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
選中2位數(shù)學(xué)成績不在同一組的同學(xué)包含的基本事件有m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，
∴選中2位數(shù)學(xué)成績不在同一組的同學(xué)的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意分層抽樣的性質(zhì)的合理運用．