Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O為其中心，M是線段DC₁上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DM在棱DC上的投影為x，點(diǎn)M到點(diǎn)O的距離為d，則d關(guān)于x的函數(shù)d=f（x）的圖象大致為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,空間向量的夾角與距離求解公式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間向量及應(yīng)用

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，由題意給出已知的所求的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式把M到點(diǎn)O的距離為d表示出來，得到d關(guān)于x的函數(shù)d=f（x），再根據(jù)函數(shù)d=f（x）的性質(zhì)研究其圖象特點(diǎn)求解．

解答：解：由題意，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得O(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，又因?yàn)镈M在棱DC上的投影為x，所以設(shè)M（0，x，x），所以

MO

=(

1

2

，

1

2

-x，

1

2

-x)，
則點(diǎn)M到點(diǎn)O的距離為d=|

MO

|=

( 1 2 )2+2(x- 1 2 )2

=

2(x- 1 2 )2+ 1 4

，（0＜x＜1），
因?yàn)槎�次函�?shù)y=2(x-

1

2

)2+

1

4

在(0，

1

2

)遞減，在(

1

2

，1)遞增．且恒大于0，四個(gè)選項(xiàng)中只有A項(xiàng)滿足．
故選：A．

點(diǎn)評：該題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)“DM在棱DC上的投影為x”給出點(diǎn)M坐標(biāo)（0，x，x），而根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式將d表示成x的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究其圖象則屬于常規(guī)問題．