7.已知f(x)=sinx-cosx-ax.
(1)若f(x)在$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)$a=\frac{2}{π}$時(shí),f(x)≥-1在x∈[0,π]上恒成立.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論x 范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出f(x)的最小值,證出結(jié)論即可.

解答 解:(1)$f'(x)=cosx+sinx-a=\sqrt{2}sin({x+\frac{π}{4}})-a$…(1分)
若f(x)在$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上單調(diào)遞增,則當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$,f'(x)≥0恒成立,
當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$時(shí),$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4},\frac{3π}{4}}],sin({x+\frac{π}{4}})∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2},1}],\sqrt{2}sin({x+\frac{π}{4}})∈[{-1,\sqrt{2}}]$,
此時(shí)a≤-1;…(4分)
若f(x)在$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上單調(diào)遞減,同理可得$a≥\sqrt{2}$…(5分)
所以a的取值范圍是$({-∞,-1}]∪[{\sqrt{2},+∞})$…(6分)
(2)$a=\frac{2}{π}$時(shí),$f(x)=sinx-cosx-\frac{2}{π}x,f'(x)=\sqrt{2}sin({x+\frac{π}{4}})-\frac{2}{π}$…(7分)
當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f'(x)在$[{0,\frac{π}{4}}]$上單調(diào)遞增,在$[{\frac{π}{4},π}]$上單調(diào)遞減,
$f'(0)=1-\frac{2}{π}>0,f'(x)=-1-\frac{2}{π}<0$…(9分)
∴存在${x_0}∈({\frac{π}{4},π})$,使得在[0,x0)上f'(x)>0,在(x0,π]上f'(x)<0,
所以函數(shù)f(x)在[0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π]上單調(diào)遞減…(11分)
故在[0,π]上,f(x)min=min{f(0),f(π)}=-1,
所以f(x)≥-1在x∈[0,π]上恒成立…(12分)

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì),是一道中檔題.

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