Question

12．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對任意m，n∈[-1，1]，m+n≠0，都有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）若$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）$，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤（1-2a）t+2對所有和x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令-1≤x₁＜x₂≤1，作差f（x₁）-f（x₂）后化積可判斷f（x₁）-f（x₂）＜0，從而可證明函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）利用奇函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增可得，$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）$?$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}\right.$解之即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（1）知f（x）_max≤（1-2a）t+2對任意a∈[-1，1]都恒成立?1≤-2ta+t+2對任意a∈[-1，1]恒成立，可求得實數(shù)t的取值范圍．

解答 證明：（1）設任意x₁，x₂滿足-1≤x₁＜x₂≤1，由題意可得$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_1}）+f（{-{x_2}}）=\frac{{f（{x_1}）+f（{-{x_2}}）}}{{{x_1}+（{-{x_2}}）}}（{{x_1}-{x_2}}）＜0$，
∴f（x）在定義域[-1，1]上位增函數(shù)；
解：（2）由（1）知$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）?\left\{{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}?\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{3}}\right.$，
∴即a的取值范圍為$（{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}]$；
（3）由（1）知f（x）_max≤（1-2a）t+2對任意a∈[-1，1]都恒成立，
即1≤-2ta+t+2對任意a∈[-1，1]都恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2t+t+2≥1}\\{2t+t+2≥1}\end{array}}\right.?-\frac{1}{3}≤t≤1$，
即t的取值范圍為$[{-\frac{1}{3}，1}]$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)化思想與推理運算能力，屬于難題．