17．若直線y=x+t與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A，B兩點，當|t|變化時，|AB|的最大值為（　　）
A．2B．$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$C．$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$D．$\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$

分析 直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，可求|AB|，從而可求|AB|的最大值．

解答 解：以y=x+t代入橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，并整理得5x2+8tx+4t2-4=0①
因為直線與橢圓相交，則△=64t2-20（4t2-4）＞0，
所以t2＜5，即-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A（x1，x1+t），B（x2，x2+t），且x1，x2是方程①的兩根．由韋達定理可得：x1+x2=-$\frac{8t}{5}$，x1x2=$\frac{4（{t}^{2}-1）}{5}$
所以，弦長|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1•x2]=2[（-$\frac{8t}{5}$）2-4×$\frac{4（{t}^{2}-1）}{5}$]．
所以|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{t}^{2}}$，
所以當t=0時，|AB|取最大值為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，正確計算弦長是關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為g（x）．若在區(qū)間D上，g（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”．已知實數(shù)m是常數(shù)，f（x）=$\frac{x^4}{12}-\frac{{m{x^3}}}{6}-\frac{{3{x^2}}}{2}$，若對滿足|m|≤2的任何一個實數(shù)m，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（　�。�
A．3B．2C．1D．-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．若一個正三棱錐的正（主）視圖如圖所示，則其體積等于（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$B．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$D．$2\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$≤$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{6}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1和函數(shù)g（x）=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$，
（1）若f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不等的實根x1，x2（x2＜x2），則
①試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是否具有單調(diào)性，并說明理由；
②若方程f（x）=0的兩實根為x3，x4（x3＜x4）求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知⊙C：（x-6）2+y2=4，直線過點P（0，2）且斜率為k．
（1）若直線與⊙C有公共點，求k的取值范圍；
（2）若直線與⊙C交于不同兩點A、B，是否存在常數(shù)k，使以AB為直徑的圓過⊙C的圓心C？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），觀察：
f1（x）=f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），f2（x）=f（f1（x））=$\frac{x}{3x+4}$，f3（x）=f（f2（x））=$\frac{x}{7x+8}$，f4（x）=f（f3（x））=$\frac{x}{15x+16}$…
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N+時，fn（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，其余人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，其余人主要的休閑方式是運動．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表；
看電視運動合計
男性21
女性4370
合計124
（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為休閑方式與性別有關(guān)系．
參考臨界值表
P（k2＞k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（1）寫出圓C的普通方程；
（2）將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（3）過直線l的任意一點P作直線與圓C交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的最小值．

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