Question

7．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（1）寫出圓C的普通方程；
（2）將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（3）過直線l的任意一點P作直線與圓C交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)可得圓C的普通方程；
（2）利用極坐標與直角坐標的互化方法，將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（3）設過P，圓的切線長為d，則d²=|PA|•|PB|，求|PA|•|PB|的最小值，即求圓的切線長的最小值．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．普通方程為（x-3）²+y²=4；
（2）直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0，直角坐標方程x+y+1=0；
（3）設過P，圓的切線長為d，則d²=|PA|•|PB|，
求|PA|•|PB|的最小值，即求圓的切線長的最小值．
圓心到直線的距離為$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴圓的切線長的最小值=$\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$，
∴|PA|•|PB|的最小值為12．

點評 本題考查了直角坐標方程化為參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．