Question

6．己知a（3-a）＞0，那么$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$的最小值是$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由題意變形已知式子可得原式=$\frac{1}{3}$[a+（3-a）]（$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3-a}{a}$+$\frac{9a}{3-a}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a（3-a）＞0，∴$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$
=$\frac{1}{3}$[a+（3-a）]（$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$）
=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3-a}{a}$+$\frac{9a}{3-a}$）
≥$\frac{1}{3}$（10+2$\sqrt{\frac{3-a}{a}•\frac{9a}{3-a}}$）=$\frac{16}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3-a}{a}$=$\frac{9a}{3-a}$即a=$\frac{3}{4}$時(shí)取等號(hào)，
∴原式的最小值為$\frac{16}{3}$，
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，變形為可以基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．