Question

15．在△ABC中，已知B=2C，∠BAC的平分線將△ABC分成面積之比為1：$\sqrt{3}$的兩部分，求三邊之比．

Answer 1

分析 由題意可得BD：CD=1：$\sqrt{3}$，由正弦定理求得 $\frac{BD}{CD}$=$\frac{sinC}{sin2C}$=1：$\sqrt{3}$，求得cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得C的值，從而求得B、A的值，再利用正弦定理求得三邊之比a：b：c=sinA：sinB：sinC 的值．

解答 解：由題意可得，S_△ABD：S_△ACD=1：$\sqrt{3}$，BD：CD=1：$\sqrt{3}$，
由正弦定理得，$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{CD}{sin\frac{A}{2}}$，$\frac{AD}{sin2C}$=$\frac{BD}{sin\frac{A}{2}}$，
所以 $\frac{BD}{CD}$=$\frac{sinC}{sin2C}$=$\frac{sinC}{2sinCcosC}$=$\frac{1}{2cosC}$=1：$\sqrt{3}$，
求得 cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴C=$\frac{π}{6}$，∴B=2C=$\frac{π}{3}$，∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$，
故三邊之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：$\frac{\sqrt{3}}{2}$：$\frac{1}{2}$=2：$\sqrt{3}$：1．

點評 本題考查正弦定理的應用、三角函數(shù)中的恒等變換、二倍角公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．