已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）滿足題意的直線存在，方程為：.

解析試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可采用待定系數(shù)法求方程, 設(shè)橢圓方程為，利用條件求的值,從而得方程,因為｜｜＝1,即,再由·＝1,寫出,的坐標(biāo),從而求出的值,可得方程;（Ⅱ）此題屬于探索性命題,解此類問題，一般都假設(shè)成立，作為條件，能求出值，則成立，若求不出值，或得到矛盾的結(jié)論，則不存在，此題假設(shè)存在直線符合題意，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與二次曲線位置關(guān)系的解題方法，采用設(shè)而不求的解題思維，設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，來求出直線方程，值得注意的是，當(dāng)方程不恒有交點時，需用判別式討論參數(shù)的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，，所以，又因為，所以，則橢圓方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線符合題意。由題意可設(shè)直線方程為：，代入得：，，設(shè)，則，，   解得：或 ， 當(dāng)時，三點共線，所以，所以，所以滿足題意的直線存在，方程為：.
考點：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知三點P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）。
（1）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P、F1、F2關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的點，是的焦點， 以為直徑的圓與軸的另一個交點為.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過點且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，的面積為，證明：直線與圓相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數(shù)列，點M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率，過點A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點的距離是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及漸近線方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx＋5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D，且兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準(zhǔn)線過橢圓N： 的左焦點，以坐標(biāo)原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，點C的橫坐標(biāo)為x2，曲線M上點D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)a變化時，求|AB|的最小值．

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同步練習(xí)冊答案