Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（III）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為

3

2

？若存在，求出a的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，直接加以驗(yàn)證即可得到函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）設(shè)x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差、因式分解，可得當(dāng)a＞1時(shí)f（x₁）＜f（x₂），由定義可得函數(shù)f（x）是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)f（x₁）＞f（x₂），可得函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
（III）分a＞1時(shí)、0＜a＜1兩種情況加以討論，根據(jù)（II）中函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于a的方程，解之可得存在
a=

2

滿足f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

．

解答：解：（I）∵f（x）=a^x-a^-x，
∴f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）
因此，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）設(shè)x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1•ax2

=（ax1-ax2）（1+

1

ax1•ax2

）
∵1+

1

ax1•ax2

＞0，當(dāng)a＞1時(shí)ax1-ax2＜0，而0＜a＜1時(shí)ax1-ax2＞0
∴當(dāng)a＞1時(shí)f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)
（III）根據(jù)（II）的單調(diào)性，得
①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

即a²-a^-2=

3

2

，解之得a²=2（舍負(fù)），所以a=

2

（舍負(fù)）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（1）=

3

2

即a¹-a^-1=

3

2

，解之得a=2不滿足0＜a＜1，舍去
綜上所述，可得存在a=

2

滿足f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有指數(shù)的基本初等函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．著重考查了函數(shù)的奇偶性的定義、函數(shù)單調(diào)性的定義證明法和指數(shù)方程的解法等知識(shí)，屬于中檔題．