Question

2．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+asinx-3．
（1）若a=3，且x≠$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若a=-8，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）a=3，求得f（x）的解析式，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得f（x）=-2sin²x+3sinx-1，設(shè)t=sinx（-1≤t＜1），令f（t）=0，求得t=$\frac{1}{2}$，即可求得x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，求得函數(shù)f（x）的零點；
（2）若a=-8時，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，f（x）=-2sin²x-8sinx-1，令t=sinx（-1≤t≤1），f（t）=-2t²-8t-1（-1≤t≤1），由二次函數(shù)的開口向下，圖象在-1≤t≤1上單調(diào)遞減，即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）若a=3，f（x）=2cos²x+3sinx-3=2（1-sin²x）+3sinx-3，
=-2sin²x+3sinx-1，
令t=sinx，
∴f（t）=-2t²+3t-1，
∵x≠$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴sinx≠1，即（-1≤t＜1）
令f（t）=0
2t²-3t+1=0，（2t-1）（t-1）=0
t=$\frac{1}{2}$或1，因為t≠1，
所以t=$\frac{1}{2}$，
即sinx=$\frac{1}{2}$，
x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，
所以f（x）的零點為2kπ+$\frac{π}{6}$和2kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z），
（2）若a=-8時，f（x）=2cos²x-8sinx-3，
=-2sin²x-8sinx-1，
令t=sinx，
∴f（t）=-2t²-8t-1（-1≤t≤1），
二次函數(shù)中a=-2＜0，開口向下
對稱軸x=-$\frac{2a}$=-2，圖象在-1≤t≤1上單調(diào)遞減，
f（t）_max=f（-1）=-2+8-1=5
f（t）_min=f（1）=-2-8-1=-11
∴函數(shù)f（x）的值域為[-11，5]．

點評 本題考查判斷函數(shù)的零點及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查換元法的應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性及值域，屬于中檔題．