Question

17．正四棱錐P-ABCD，棱長都為a，O為P在底面射影，E，F(xiàn)，M為PC，AB，PO中點．
求（1）V_P-EFB；（2）V_C-FME；（3）V_A-EMF；（4）V_E-DMB．

Answer 1

分析 求出棱錐的高OP，則（1）V_P-EFB=V_P-BCF-V_E-BCF=$\frac{1}{2}$V_P-BCF；（2）V_C-FME=V_F-CEM=$\frac{1}{2}$V_B-CEM；（3）V_A-EMF=V_F-AME=V_F-CEM；（4）V_E-BDM=$\frac{1}{2}$V_C-BDM=$\frac{1}{4}$V_P-BCD．

解答 解：（1）∵正四棱錐P-ABCD的棱長都為a，O為P在底面射影，
∴O是正方形ABCD的中心，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∵E是PC的中點，
∴V_E-BCF=$\frac{1}{2}$V_P-BCF，
∴V_P-EFB=V_P-BCF-V_E-BCF=$\frac{1}{2}$V_P-BCF=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{48}$．
（2）∵M，E是OP，PC的中點，
∴ME=$\frac{1}{2}OC=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，OM=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴S_△CEM=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}a}{4}×\frac{\sqrt{2}a}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{16}$．
∵F是AB的中點，∴F到平面PAC的距離d=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{\sqrt{2}a}{4}$，
∴V_C-FME=V_F-CEM=$\frac{1}{3}{S}_{△CEM}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{16}×\frac{\sqrt{2}a}{4}$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{192}$．
（3）V_A-EMF=V_F-AME=V_F-CEM=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{192}$．
（4）∵E是PC的中點，
∴V_E-BDM=$\frac{1}{2}$V_C-BDM，
∵M是OP的中點，
V_C-BDM=V_M-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-BCD．
∴V_E-BDM=$\frac{1}{4}$V_P-BCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×a×a×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{48}$．

點評 本題考查了棱錐的額體積計算，屬于中檔題．