Question

7．已知在直角坐標系xOy中，設(shè)Q（x₁，y₁）是圓x²+y²=2上的一個動點，點P（${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$，x₁y₁）的軌跡方程為C．
（1）以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的方程為ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求曲線C與直線l交點的直角坐標；
（2）若直線l₁經(jīng)過點M（2，1），且與曲線C交于A，B兩點，已知傾斜角為α，求點M到A，B兩點的距離之積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合二倍角公式，求出C的方程，直線l的方程為ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化為直角坐標方程，即可求曲線C與直線l交點的直角坐標；
（2）把直線的參數(shù)方程代入，利用參數(shù)的幾何意義即可求出點M到A，B兩點的距離之積的最小值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），x₁=$\sqrt{2}$cosα，y₁=$\sqrt{2}sinα$，則x=${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$=2cos2α，y=x₁y₁=sin2α，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直線l的方程為ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直角坐標方程為x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
與$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，聯(lián)立可得7x²-8$\sqrt{3}$x=0，∴x=0或$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，
∴曲線C與直線l交點的直角坐標為（0，-1）或（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$）；
（2）直線l₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，整理得
（1+3sin²α）t²+（4cosα+8sinα）t+4=0，
∴t₁t₂=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$．
∴點M到A，B兩點的距離之積的最小值為1．

點評 熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式及參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．