分析 (1)利用向量的加法運(yùn)算寫出$\overrightarrow{OA_2}$及$\overrightarrow{OA_3}$的坐標(biāo),并求出$\overrightarrow{OA_n}$的坐標(biāo);
(2)An(n-1,n),它滿足直線方程y=x+1,因此點(diǎn)An在直線y=x+1上.$\overrightarrow{O{B}_{n+1}}$=(1+1-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)×4$\overrightarrow{i}$=$\frac{2n+1}{n+1}$×$4\overrightarrow{i}$,即可求an(n∈N*)的表達(dá)式;
(3)設(shè)t=n+1,(t≥2,t∈N+)則an=4t+$\frac{2}{t}$-6,an=4t+$\frac{2}{t}$-6≥3,即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)$\overrightarrow{OA_2}$=$\overrightarrow{OA_1}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$=$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$=(1,2),$\overrightarrow{OA_3}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$=(2,3)
$\overrightarrow{OA_n}$=(n-1)$\overrightarrow{i}$+n$\overrightarrow{j}$=(n-1,n);
(2)An(n-1,n),它滿足直線方程y=x+1,因此點(diǎn)An在直線y=x+1上.
$\overrightarrow{O{B}_{n+1}}$=(1+1-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)×4$\overrightarrow{i}$=$\frac{2n+1}{n+1}$×$4\overrightarrow{i}$,
∴△OAnBn+1的面積an=$\frac{1}{2}•n•$$\frac{8n+4}{n+1}$=$\frac{4{n}^{2}+2n}{n+1}$;
(3)設(shè)t=n+1,(t≥2,t∈N+)則an=4t+$\frac{2}{t}$-6,
y=4t+$\frac{2}{t}$,則y′=4-$\frac{2}{{t}^{2}}$>0在[2,+∞)上恒成立,
∴an=4t+$\frac{2}{t}$-6≥3,
∵對(duì)一切n∈N*都有an≥M成立,
∴M≤3,
∴M的最大值為3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量與數(shù)列的綜合,是一道難題.對(duì)于裂項(xiàng)求和公式的掌握,數(shù)列單調(diào)性的充公理解,是解決本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{6}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | -5 | C. | -5或1 | D. | 5或-1 |
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A. | $\frac{1}{9}$ | B. | $±\frac{1}{9}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $±\frac{1}{3}$ |
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