Question

18．已知雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦點(diǎn)相同，且漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁為雙曲線的左焦點(diǎn)，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程，求得橢圓方程坐標(biāo)，求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即c=2，由漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，則a=3λ，b=4λ，代入a²+b²=c²，求得λ=1，即可求得a和b，即可求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，知x₀=5，代入即可求得y₀=±$\frac{16}{3}$，則${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨F₁F₂丨•丨y₀丨，即可求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦點(diǎn)為：（±5，0）…（1分）
∴雙曲線的焦點(diǎn)為：（±5，0），
設(shè)雙曲線方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∴c=2…（3分）
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，
不妨設(shè)a=3λ，b=4λ（λ＞0），
∵a²+b²=c²，
∴λ=1…（5分）
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$…（7分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），又F₁（-5，0），
由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，知x₀=5…（9分）
代入雙曲線方程，得y₀=±$\frac{16}{3}$…（12分）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨F₁F₂丨•丨y₀丨=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{16}{3}$=$\frac{80}{3}$．
△PF₁F₂的面積為$\frac{80}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．