Question

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的內(nèi)切圓的圓心M在直線x=2上移動(dòng)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）某同學(xué)經(jīng)研究作出判斷，曲線C在P點(diǎn)處的切線恒過點(diǎn)M，試問：其判斷是否正確？若正確，請給出證明；否則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)槿�角形PAB的內(nèi)切圓的圓心M在直線x=2上移動(dòng)，以及A，B點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷P點(diǎn)的軌跡C為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（除去頂點(diǎn)），利用雙曲線的定義可求出點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是三角形PAB的內(nèi)切圓的圓心，若曲線C在P點(diǎn)處的切線恒過點(diǎn)M，則PQ平分∠APB，所以只需證明PQ平分∠APB即可，利用成比例線段可得．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y）（y≠0），三角形PAB的內(nèi)切圓M與PA、PB、AB的切點(diǎn)分別為E、F、H
則|PE|=|PF|，|AE|=|AH|，|BF|=|BH|．
∴|PA|-|PB|=|AE|-|BF|=|AH|-|BH|=5-1=4
∴P點(diǎn)的軌跡C為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（除去頂點(diǎn)）
∴曲線C的方程為
（2）此同學(xué)的判斷是正確的
設(shè)P點(diǎn)處曲線的切線交x軸于點(diǎn)Q，下證：PQ平分∠APB．
不妨設(shè)P（x，y）（y＞0）．
∵當(dāng)x＞2，y＞0時(shí)，曲線C滿足∴，
則曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率
∴直線PQ的方程為．
取y=0，
得∴
∴
又∴，即PQ平分∠PAB
∴PQ恒過點(diǎn)M，得證
點(diǎn)評：本題考查了橢圓定義的應(yīng)用，以及恒過定點(diǎn)問題，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析，找到突破口．