Question

3．下列函數(shù)中，最小值為4的是（　�。�

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=log₃x+4log_x3

Answer 1

分析 運(yùn)用基本不等式求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，即可判斷A，B，D錯誤，C正確．

解答 解：A，y=x+$\frac{4}{x}$，當(dāng)x＞0時，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，取得最小值4；當(dāng)x＜0時，y=x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{4}$=-4，故A錯；
B，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π），令t=sinx（0＜t≤1），則y=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]遞減，可得y的最小值為5，故B錯；
C，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得最小值4，故C正確；
D，y=log₃x+4log_x3，當(dāng)x＞1時，log₃x＞0，可得log₃x+4log_x3≥2$\sqrt{lo{g}_{3}x•4lo{g}_{x}3}$=4；當(dāng)0＜x＜1時，log₃x＜0，可得log₃x+4log_x3≤-2$\sqrt{lo{g}_{3}x•4lo{g}_{x}3}$=-4，故D錯．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，同時考查正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．