Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，則離心率的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓定義得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，求出 x

2 1

=

4c2-3a2

e2

，利用橢圓的范圍列出不等式求出離心率的范圍．

解答：解：設(shè)，P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x

2 1

=

4c2-3a2

e2

，∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-3a2

e2

＜a²，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

1

2

．
故橢圓離心率的取范圍是 e∈[

1

2

，1）．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F₁PF₂值最大，這個(gè)結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來(lái)解決這一類的問(wèn)題．