Question

8．已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+$\frac{a}{x}$-x（x＞0），g（x）=e^x-x-2，其中a為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的斜率為-$\frac{1}{2}$，求證：?x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，構造函數(shù)h（x），求出函數(shù)的導數(shù)，得到h（x）的最小值，從而證出結論．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a+1}{x}-\frac{a}{x^2}-1=-\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x^2}$=$-\frac{（x-1）（x-a）}{x^2}\;（x＞0）$…（2分）
①當a≤0時，令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1
則f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減
②當0＜a＜1時，令f'（x）＞0，得a＜x＜1；令f'（x）＜0，得0＜x＜a，或x＞1
則f（x）在（a，1）上遞增，在（0，a）和（1，+∞）上遞減
③當a=1時，$f'（x）=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}≤0$，則f（x）在（0，+∞）上遞減
④當a＞1時，令f'（x）＞0，得1＜x＜a；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，或x＞a
則f（x）在（1，a）上遞增，在（0，1）和（a，+∞）上遞減…（6分）
（Ⅱ）由已知，得$f'（2）=-\frac{2-a}{4}=-\frac{1}{2}$，∴a=0，f（x）=lnx-x…（7分）
令h（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx-2（x＞0）
則$h'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$（x＞0）∴h'（x）在（0，+∞）上遞增，且$h'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，h'（1）=e-1＞0，
∴h'（x）有唯一的零點${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，且${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即${e^{-{x_0}}}={x_0}$…（9分）
當x∈（0，x₀）時，h'（x）＜0，h（x）為減函數(shù)
當x∈（x₀，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
∴h（x）_min=$h（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2$=$\frac{1}{x_0}-ln{e^{-{x_0}}}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2$，
∵${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，∴$\frac{1}{x_0}+{x_0}＞2$，∴h（x）_min＞0，從而h（x）＞0，
故對?x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．