Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜2；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值為a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜2，則|2x-1|＜2，則-2＜2x-1＜2，即可求得x的取值范圍，即可求得不等式f（x）＜2的解集；
（2）由g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$時(shí)，其最小值a=2，即m+n=2．由基本不等式的性質(zhì)可知：$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，即可求得$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：（1）由f（x）＜2，則|2x-1|＜2，
∴-2＜2x-1＜2，
解得：$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
故不等式f（x）＜2的解集為：$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）由函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值為a，
∴g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$時(shí)，其最小值a=2，
即m+n=2．
又$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$，
此時(shí)$m=4-2\sqrt{2}$，$n=2\sqrt{2}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法及最值，考查基本不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．