Question

已知函數(shù)f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

，求f（x）的最小正周期和值域，若f（a）=

3 2

10

，求sina．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用二倍角公式對原函數(shù)解析式化簡整理 利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域；根據(jù)f（a）的值，求得sin（a-

π

4

）的值，進而求得cos（a-

π

4

）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．

解答： 解：f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

cosx-

1

2

sinx=-

2

2

sin（x-

π

4

），
∴T=

2π

1

=2π，函數(shù)的值域為[-

2

2

，

2

2

]，
∵f（a）=-

2

2

sin（a-

π

4

）=

3 2

10

，
∴sin（a-

π

4

）=-

3

5

，
∴cos（a-

π

4

）=±

4

5

，
當cos（a-

π

4

）=

4

5

時，sina=sin（a-

π

4

+

π

4

）=-

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

2

10

，
當cos（a-

π

4

）=-

4

5

時，sina=sin（a-

π

4

+

π

4

）=-

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

7 2

10

．

點評：本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)以及兩角和與差的正弦函數(shù)．要求學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識能熟練記憶．