Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是△ABC內(nèi)切圓M上的動點，求以PA，PB，PC為直徑的三個圓的面積之和的最小值．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：由△ABC是邊長為6，8，10的直角三角形，點P是此三角形內(nèi)切圓上一動點，建立平面直角坐標(biāo)系，求三個圓的面積之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最小值問題．

解答： 解：建立坐標(biāo)系 設(shè)A（8，0），B（0，6），C（0，0），P（x，y），△ABC內(nèi)切圓半徑為r．
∵三角形ABC面積 S=

1

2

AB×AC=

1

2

（AB+AC+BC）r=24，解得r=2
即內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為 （2，2）
∵P在內(nèi)切圓上
∴（x-2）²+（y-2）²=4
∵P點到A，B，C距離的平方和為 d=x²+y²+（x-8）²+y²+x²+（y-6）²=3（x-2）²+3（y-2）²-4x+76=88-4x，
顯然 0≤x≤4 即72≤d≤88，
∴以PA，PB，PC為直徑的三個圓面積之和最小值為18π．

點評：本題考查解析法求最值，三個圓的面積之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最小值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法．