Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足${2^{a_1}}$•${2^{a_2}}$…${2^{a_n}}$=${2^{\frac{{75n-5{n^2}}}{2}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令T_n=|a_n+a_n+1+…+a_n+5|（n∈N^*），求|T_n|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，求得a₁=35；n＞1時，再將n換為n-1，兩式相除，可得a_n=40-5n；檢驗可得數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）運用等差數(shù)列的求和公式，求得T_n=|15（11-2n）|=15|11-2n|，討論單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，${2^{a_1}}={2^{35}}$，即有a₁=35，
n≥2時，${2^{a_1}}•{2^{a_2}}…{2^{a_n}}={2^{\frac{{75n-5{n^2}}}{2}}}$，
${2^{a_1}}•{2^{a_2}}…{2^{{a_{n-1}}}}={2^{\frac{{75（{n-1}）-5{{（{n-1}）}^2}}}{2}}}$，
兩式相除得，2${\;}^{{a}_{n}}$=2${\;}^{\frac{75n-5{n}^{2}}{2}-\frac{75（n-1）-5（n-1）^{2}}{2}}$，
化簡得，${2^{a_n}}={2^{40-5n}}$，即a_n=40-5n；
又a₁=35滿足上式，所以a_n=40-5n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${a_n}+{a_{n+1}}+…+{a_{n+5}}=\frac{{6（{{a_n}+{a_{n+5}}}）}}{2}=15（{11-2n}）$，
所以T_n=|15（11-2n）|=15|11-2n|，
當1≤n≤5時，T_n遞減；n≥6，n∈N^*，T_n遞增，
則當n=5，或n=6時，|T_n|的最小值為15．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用下標變換相除，考查數(shù)列的最值的求法，注意運用數(shù)列的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．