Question

“解方程（

3

5

）^x+（

4

5

）^x=1”有如下思路；設(shè)f（x）=（

3

5

）^x+（

4

5

）^x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，故原方程有唯一解x=2，類比上述解題思路，不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：計算題,推理和證明

分析：根據(jù)題意，把不等式變形為x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），利用函數(shù)f（x）=x³+x的單調(diào)性把該不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，從而求出解集．

解答： 解：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²變形為，
x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）；
令u=x²，v=x+2，
則x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）?u³+u＞v³+v；
考察函數(shù)f（x）=x³+x，知f（x）在R上為增函數(shù)，
∴f（u）＞f（v），
∴u＞v；
不等式x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）可化為
x²＞x+2，解得x＜-1或x＞2；
∴不等式的解集為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了合情推理的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)把復(fù)雜的高次不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，是中檔題．