Question

已知函數(shù)f（x）=lnx
（1）若方程f（x+a）=x有且只有一個實數(shù)解，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函數(shù)h（x）=f（x）-2x²-bx的零點，記h′（x）為函數(shù)h（x）的導函數(shù)，求y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用數(shù)形結合的思想，根據導數(shù)的幾何意義，設切點為（x₀，x₀），繼而求出a的值．
（2）先根據函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的極值點x₁，x₂求得x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，再根據極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函數(shù)h（x）=f（x）-2x²-bx的零點，得到b=-2m+

4

m

，再化簡y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）得到
y=

m2-4

•（2m+

2

m

），判斷出在m∈[

5

2

，+∞）上為增函數(shù)，繼而求出y的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f（x+a）=ln（x+a），x＞-a，且x＞0，
∴f（x+a）=x有且只有一個實數(shù)解，
分別畫出函數(shù)y=f（x+a）的圖象和y=x的圖象，如圖所示，
當y=f（x+a）的圖象和y=x的圖象相切時只有一個實數(shù)解，
設切點為（x₀，x₀），
∴k=f′（x₀+a）=

1

x0+a

=1，①
x₀=f（x₀+a）=ln（x₀+a），②
解得a=1，
（2）∵g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx=lnx+

1

2

x²-mx，
∴g′（x）=

1

x

+x-m=

x2-mx+1

x

，
令g′（x）=

x2-mx+1

x

=0，
得x²-mx+1=0，
∵函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
∴x₁-x₂=-

m2-4

∵x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函數(shù)h（x）=f（x）-2x²-bx的零點，
即h（x）=f（x）-2x²-bx=lnx-2x²-bx=0由兩個解分別為x₁，x₂，
∴h（x₁）=lnx₁-2x₁²-bx₁=0，③
h（x₂）=lnx₂-2x₂²-bx₂=0，④
由③+④得lnx₁-2x₁²-bx₁+lnx₂-2x₂²-bx₂=0，
整理得2m²+bm-4=0，
即b=-2m+

4

m

∵h′（x）為函數(shù)h（x）的導函數(shù)，
∴h′（x）=

1

x

-4x-b，
∴h′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

-4（x₁+x₂）-b，
∴y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）=-

m2-4

•（

2

m

-4m-b）=-

m2-4

•（

2

m

-4m+2m-

4

m

）=

m2-4

•（2m+

2

m

）
設F（m）=

m2-4

，G（m）=2m+

2

m

，
∴G′（m）=

2(m2-1)

m2

，
∵m≥

5

2

，
∴G′（m）＞0，故G（m）=2m+

2

m

在m∈[

5

2

，+∞）上為增函數(shù)，
又F（m）=

m2-4

在m∈[

5

2

，+∞）上為增函數(shù)，
∴y=

m2-4

•（2m+

2

m

）在m∈[

5

2

，+∞）上為增函數(shù)，
∴當m=

5

2

時，y有最小值，最小值為y_min=

25 4 -4

•（2×

5

2

+2×

2

5

）=

87

10

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點，函數(shù)零點的問題，復合函數(shù)的單調性，函數(shù)最值的問題，關鍵是求出b與m的關系，培養(yǎng)學生的分析問題，解決問題的能力，本題的計算量較大，屬于難題．