Question

7．已知圓C：x²+y²-4x-2y-20=0及直線l：mx-y-m+3=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程．

Answer 1

分析 （1）把直線l的方程改寫成y-3=m（x-1）=0，所以直線l總過定點（1，3），判斷點（1，3）在圓內，即可證明結論；
（2）當直線l過定點M（1，3）且垂直于過點M的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短．

解答 （1）證明：把直線l的方程改寫成y-3=m（x-1）=0，所以直線l總過定點（1，3）．
圓C的方程可寫成（x-2）²+（y-1）²=25，所以圓C的圓心為（2，1），半徑為5．
定點（1，3）到圓心（2，1）的距離為$\sqrt{5}$＜5，即點（1，3）在圓內．所以過點（1，3）的直線總與圓相交，即不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交．
（2）解：設直線與圓交于A、B兩點．
當直線l過定點M（1，3）且垂直于過點M的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短．
因為|AB|=2$\sqrt{25-[（3-1）^{2}+（1-2）^{2}]}$=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
此時k_AB=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=$\frac{1}{2}$，所以直線AB的方程為y-3=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+5=0．
故直線l被圓C截得的弦長最小值為4$\sqrt{5}$，此時直線l的方程為x-2y+5=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．