Question

函數(shù)f（x）=

1

2

x²+x-2lnx+a在區(qū)間（0，2）上恰有一個零點，則實數(shù)a取值范圍是

{a|a=-

3

2

，或a≤2ln2-4}

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件利用導數(shù)性質(zhì)推導出f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，要使f（x）在（0，2）上恰有一個零點，需要f（1）=0或f（2）＜0，由此能求出實數(shù)a取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

1

2

x²+x-2lnx+a，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=x-

2

x

+1=

(x+2)(x-1)

x

，
f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
要使f（x）在（0，2）上恰有一個零點，
結(jié)合其圖象和性質(zhì)，需要f（1）=

1

2

+1-0+a=0或f（2）=

1

2

×4+2-2ln2+a＜0，
解得a=-

3

2

，或a≤2ln2-4．
故答案為：{a|a=-

3

2

，或a≤2ln2-4}．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．