Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²．
（1）若a=-1，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜

2

3

x3+

1

3

；
（2）若對(duì)任意的x∈[1，e]，使得f（x）＞（a+2）x恒成立，求出a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）為減函數(shù)，求出g（x）的最大值，即可證明．
（2）不等式f（x）＞（a+2）x，可化為a（x-lnx）＜x²-2x．由已知條件推導(dǎo)出a＜

x2-2x

x-lnx

，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值就可以求出a的取值范圍

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-lnx+x²，x＞1，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
設(shè)g（x）=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
∴g′（x）=-

1

x

+2x-2x²=-

2x3-2x2+1

x

設(shè)h（x）=2x³-2x²+1，
∴h′（x）=6x²-4x，
∵x＞1，
∴h′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=2-2+1＞1，
∴g′（x）＜-1，
∴函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=1-

2

3

-

1

3

=0，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

＜0，
即f（x）＜

2

3

x³+

1

3

（2）解：不等式f（x）＞（a+2）x，可化為a（x-lnx）＜x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a＜

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]）
令F（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），
又F′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而F′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴F（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題．屬于中檔題