Question

20．長方體中，AB=BC=4，CC₁=2，求
（1）A到平面B₁D₁DB的距離；
（2）A₁B₁到平面ABC₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD，交于點O，證明AO⊥平面B₁D₁DB，求出AO的長即可；
（2）過點B₁作B₁M⊥BC₁，垂足為M，證明A₁B₁∥平面ABC₁D₁，B₁M⊥平面ABC₁D₁，求出B₁M的長即可．

解答 解：（1）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，CC₁=2，如圖1所示；
連接AC、BD，交于點O，則AO⊥BD，又BB₁⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，
BD?平面B₁D₁DB，BB₁?平面B₁D₁DB，
∴AO⊥平面B₁D₁DB，
又AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴A到平面B₁D₁DB的距離為AO=2$\sqrt{2}$；
（2）過點B₁作B₁M⊥BC₁，垂足為M，如圖2所示；
∵A₁B₁∥AB，AB?平面ABC₁D₁，A₁B₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁B₁∥平面ABC₁D₁；
又AB⊥平面BCC₁B₁，B₁M?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁M，
且AB∩BC₁=B，
AB?平面ABC₁D₁，BC₁?平面ABC₁D₁，
∴B₁M⊥平面ABC₁D₁；
∴A₁B₁到平面ABC₁D₁的距離為
B₁M=$\frac{{BB}_{1}{{•B}_{1}C}_{1}}{{BC}_{1}}$=$\frac{2×4}{\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了點到平面的距離與線到平面的距離的計算問題，是綜合性題目．